Przekształcenia wymierne – testy

Niestety , metoda Newtona nie znajduje przekształcenia dla rzeczywistego obrazuPerspektywa
Dla pięciu punktów nie jest zbieżna z powodu łuku pomiędzy dwoma górnymi lub dolnymi punktami. Dla czterech i odpowiedniego wyboru punktów, które mają leżeć na linii daje się znaleźć transformację, tylko w odwrotną stronę niż potrzeba.
Ciekawa własność dla 4 punktów + punkt na linii : mianowniki obu wyrażeń wymiernych są takie same. Można to wykorzystać dla uproszczenia – 4 punkty, żadnych dodatkowych warunków na to, by punkt leżał na linii, a jedynie równość mianowników wyrażeń. Przez co będziemy mieli układ równań rozmiaru 8 a nie 10.
$x’ = (ax+by+c)/(1+dx+ey)$
$y’ = (fx+gy+h)/(1+dx+ey)$
Nazywając zmienne podobnie jak będą wykorzystywane w programie:
$Bx = (x0*Ax+x1*Ay+x2)/(1+x3*Ax+x4*Ay)$
$By = (x5*Ax+x6*Ay+x7)/(1+x3*Ax+x4*Ay)$
Pochodne cząstkowe $(x0*Ax+x1*Ay+x2)/(1+x3*Ax+x4*Ay)-Bx$
Ax/(1+Ax x3+Ay x4)
Ay/(1+Ax x3+Ay x4)
1/(1+Ax x3+Ay x4)
-((Ax (Ax x0+Ay x1+x2))/(1+Ax x3+Ay x4)^2)
-((Ay (Ax x0+Ay x1+x2))/(1+Ax x3+Ay x4)^2)
0
0
0
Pochodne czątkowe $(x5*Ax+x6*Ay+x7)/(1+x3*Ax+x4*Ay)-By$
0
0
0
-((Ax (Ax x5+Ay x6+x7))/(1+Ax x3+Ay x4)^2)
-((Ay (Ax x5+Ay x6+x7))/(1+Ax x3+Ay x4)^2)
Ax/(1+Ax x3+Ay x4)
Ay/(1+Ax x3+Ay x4)
1/(1+Ax x3+Ay x4)

Wynik:
Transformacja
Perspektywa poprawiona, jednak zakrzywienie jeszcze bardziej widoczne – y powinno zależeć od x w kwadracie , dodamy czynniki x^2 i x*y dla y; natomiast x pozostawiamy bez zmian.

$(x0*Ax+x1*Ay+x2)/(1+x3*Ax+x4*Ay) – Bx$
$(x5*Ax+x6*Ay+x7 +Ax^2*x8 +Ax*Ay*x9)/(1+x3*Ax+x4*Ay) – By$
Pochodne cząstkowe pierwszej, tak jak było:
Ax/(1+Ax x3+Ay x4)
Ay/(1+Ax x3+Ay x4)
1/(1+Ax x3+Ay x4)
-((Ax (Ax x0+Ay x1+x2))/(1+Ax x3+Ay x4)^2)
-((Ay (Ax x0+Ay x1+x2))/(1+Ax x3+Ay x4)^2)
0
0
0
0
0
Pochodne czątkowe drugiej:
0
0
0
-((Ax (Ax x5+Ay x6+x7+Ax^2 x8+Ax Ay x9))/(1+Ax x3+Ay x4)^2)
-((Ay (Ax x5+Ay x6+x7+Ax^2 x8+Ax Ay x9))/(1+Ax x3+Ay x4)^2)
Ax/(1+Ax x3+Ay x4)
Ay/(1+Ax x3+Ay x4)
1/(1+Ax x3+Ay x4)
Ax^2/(1+Ax x3+Ay x4)
(Ax Ay)/(1+Ax x3+Ay x4)
Wynik:
Fragment

Widać dosyć pogięte linie, transformacja nie uwzględnia że wygięcie postępowało w stronę góry, tak ze po odtworzeniu oryginału na samej górze jeszcze widać to wygięcie a na dole jest w przeciwną stronę.

Wniosek – trudności występują z powodu zagięcia na walcowatej powierzchni, gdyby nie to, mogło by zadziałać przekształcenie 4-punktowe.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *